前回の記事では、真空中の静電エネルギーを電場と電位により表現しました。ここでは、静電エネルギーを電場のみによる表現へと変えていきます。
出発点です。
ここで、
これを最初の式に代入します。
x、y、zの各要素の分けます。
これらの式に、下記の部分積分の公式を適用します。
部分積分の公式を適用したこれらの式の中で、カギカッコで挟まれた部分を表面項と呼びます。この部分は、ここでは無視できるものとみなします。その理由は次のとおりです。
この表面項は、電場の発散の体積分になっています。よって、ガウスの発散定理により、面積分に変えることができます。また、この積分範囲は全領域(
ガウスの発散定理とは、次の式で表される定理です。
左辺は体積分で、考えている領域(体積)の内部から出てくるものを合計します。一方、右辺は面積分で、考えている領域の表面から外向きに出てくるものを合計します。領域の内部から出てくるものを合計すると、領域の表面から出てくるものの合計と一致する、という、物理的にはイメージしやすい式だと思います。今回は、この定理を、体積分から面積分に変換するのに利用します。
表面項を無視した結果、x、y、zの各要素は次のようになります。
これらを合計すると、
ここで、
x、y、zの各要素をまとめると、静電場が存在する領域をVとして、
電位と電場で表していた式が、電場のみの式になりました。これより、電荷が作る電場かどうかは関係なく、一般的に電場が存在していれば、静電エネルギーが存在する、つまり、電場が静電エネルギーを持つ、と表現できます。
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