静電エネルギーのさまざまな表現方法5_電場と電位による表現から電場のみによる表現へ

コンデンサ

前回の記事では、真空中の静電エネルギーを電場と電位により表現しました。ここでは、静電エネルギーを電場のみによる表現へと変えていきます。

出発点です。

U=ϵ02(divE(x))V(x)dxdydz

ここで、divE(x)を本来の形に戻します。

divE=Exx+Eyy+Ezz

これを最初の式に代入します。

U=ϵ02(xEx(x)+yEy(x)+zEz(x))V(x)dxdydz

x、y、zの各要素の分けます。

ϵ02(xEx(x)V(x))dxdydz

ϵ02(yEy(x)V(x))dxdydz

ϵ02(zEz(x)V(x))dxdydz

これらの式に、下記の部分積分の公式を適用します。

abdf(x)dxg(x)=[f(x)g(x)]ababf(x)dg(x)dxdx

f(x)E(x)を、g(x)V(x)を代入すると、x、y、zの各要素は次にようになります。

ϵ02(xEx(x)V(x))dxdydz

=[ϵ02Ex(x)V(x)dydz]x=x=ϵ02Ex(x)xV(x)dxdydz

ϵ02(yEy(x)V(x))dxdydz

=[ϵ02Ey(x)V(x)dxdz]y=y=ϵ02Ey(x)yV(x)dxdydz

ϵ02(zEz(x)V(x))dxdydz

=[ϵ02Ez(x)V(x)dxdy]z=z=ϵ02Ez(x)zV(x)dxdydz

部分積分の公式を適用したこれらの式の中で、カギカッコで挟まれた部分を表面項と呼びます。この部分は、ここでは無視できるものとみなします。その理由は次のとおりです。

この表面項は、電場の発散の体積分になっています。よって、ガウスの発散定理により、面積分に変えることができます。また、この積分範囲は全領域(+)なので、積分範囲の上端、下端ともに無限遠です。いまは、無限遠に電荷があるとは考えていないので、無限遠では電場はゼロとみなせます。よって、無限遠ではどの方向も電場はゼロであり、したがって、表面項の計算結果もゼロになるとみなせます。

ガウスの発散定理とは、次の式で表される定理です。

VdivAdxdydz=VAdS

左辺は体積分で、考えている領域(体積)の内部から出てくるものを合計します。一方、右辺は面積分で、考えている領域の表面から外向きに出てくるものを合計します。領域の内部から出てくるものを合計すると、領域の表面から出てくるものの合計と一致する、という、物理的にはイメージしやすい式だと思います。今回は、この定理を、体積分から面積分に変換するのに利用します。

表面項を無視した結果、x、y、zの各要素は次のようになります。

ϵ02Ex(x)xV(x)dxdydz

ϵ02Ey(x)yV(x)dxdydz

ϵ02Ez(x)zV(x)dxdydz

これらを合計すると、

ϵ02(Ex(x)xV(x)+Ey(x)yV(x)+Ez(x)zV(x))dxdydz

ここで、xV(x)=Ex(x)yV(x)=Ey(x)zV(x)=Ez(x)であることから、これらを代入すると、

ϵ02(Ex(x)Ex(x)+Ey(x)Ey(x)+Ez(x)Ez(x))dxdydz

x、y、zの各要素をまとめると、静電場が存在する領域をVとして、

U=ϵ02V|E|2dV

電位と電場で表していた式が、電場のみの式になりました。これより、電荷が作る電場かどうかは関係なく、一般的に電場が存在していれば、静電エネルギーが存在する、つまり、電場が静電エネルギーを持つ、と表現できます。

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