静電エネルギーのさまざまな表現方法５_電場と電位による表現から電場のみによる表現へ

前回の記事では、真空中の静電エネルギーを電場と電位により表現しました。ここでは、静電エネルギーを電場のみによる表現へと変えていきます。

出発点です。

$U={\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int (div\overrightarrow{E}(\overrightarrow{x}))V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

ここで、$div\overrightarrow{E}(\overrightarrow{x})$を本来の形に戻します。

$div\overrightarrow{E}={\displaystyle {\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial E_z}{\partial z}}}$

これを最初の式に代入します。

$U={\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int ({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}{E}_x(\overrightarrow{x})+{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{E}_y(\overrightarrow{x})+{\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}{E}_z(\overrightarrow{x}))V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

x、y、zの各要素の分けます。

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int ({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}{E}_x(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int ({\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{E}_y(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int ({\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}{E}_z(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

これらの式に、下記の部分積分の公式を適用します。

${\displaystyle {\int }_a^b{\displaystyle \frac{df(x)}{dx}}g(x)={[f(x)g(x)]}_a^b–{\int }_a^{b}f(x){\displaystyle \frac{dg(x)}{dx}}dx}$

$f(x)$に$E(\overrightarrow{x})$を、$g(x)$に$V(\overrightarrow{x})$を代入すると、x、y、zの各要素は次にようになります。

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int ({\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}{E}_x(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

$={\displaystyle {[{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_x(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x})dydz]}_{x=-\mathrm{\infty }}^{x=\mathrm{\infty }}–{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_x(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int ({\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{E}_y(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

$={\displaystyle {[{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_y(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x})dxdz]}_{y=-\mathrm{\infty }}^{y=\mathrm{\infty }}–{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_y(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int ({\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}{E}_z(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

$={\displaystyle {[{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_z(\overrightarrow{x})V(\overrightarrow{x})dxdy]}_{z=-\mathrm{\infty }}^{z=\mathrm{\infty }}–{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_z(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

部分積分の公式を適用したこれらの式の中で、カギカッコで挟まれた部分を表面項と呼びます。この部分は、ここでは無視できるものとみなします。その理由は次のとおりです。

この表面項は、電場の発散の体積分になっています。よって、ガウスの発散定理により、面積分に変えることができます。また、この積分範囲は全領域($-\mathrm{\infty }〜+\mathrm{\infty }$)なので、積分範囲の上端、下端ともに無限遠です。いまは、無限遠に電荷があるとは考えていないので、無限遠では電場はゼロとみなせます。よって、無限遠ではどの方向も電場はゼロであり、したがって、表面項の計算結果もゼロになるとみなせます。

ガウスの発散定理とは、次の式で表される定理です。

${\displaystyle {\int }_{V}div\overrightarrow{A}dxdydz={\int }_{\partial V}\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{S}}$

左辺は体積分で、考えている領域(体積)の内部から出てくるものを合計します。一方、右辺は面積分で、考えている領域の表面から外向きに出てくるものを合計します。領域の内部から出てくるものを合計すると、領域の表面から出てくるものの合計と一致する、という、物理的にはイメージしやすい式だと思います。今回は、この定理を、体積分から面積分に変換するのに利用します。

表面項を無視した結果、x、y、zの各要素は次のようになります。

${\displaystyle –{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_x(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

${\displaystyle –{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_y(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

${\displaystyle –{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int E_z(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}V(\overrightarrow{x})dxdydz}$

これらを合計すると、

${\displaystyle –{\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int (E_x(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}V(\overrightarrow{x})+E_y(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}V(\overrightarrow{x})+E_z(\overrightarrow{x}){\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}V(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

ここで、$-{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}V(\overrightarrow{x})=E_x(\overrightarrow{x})$、$-{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}V(\overrightarrow{x})=E_y(\overrightarrow{x})$、$-{\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}}V(\overrightarrow{x})=E_z(\overrightarrow{x})$であることから、これらを代入すると、

${\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}\int (E_x(\overrightarrow{x})E_x(\overrightarrow{x})+E_y(\overrightarrow{x})E_y(\overrightarrow{x})+E_z(\overrightarrow{x})E_z(\overrightarrow{x}))dxdydz}$

x、y、zの各要素をまとめると、静電場が存在する領域をVとして、

$U={\displaystyle {\displaystyle \frac{{ϵ}_0}{2}}{\int }_V{\left|\overrightarrow{E}\right|}^{2}dV}$

電位と電場で表していた式が、電場のみの式になりました。これより、電荷が作る電場かどうかは関係なく、一般的に電場が存在していれば、静電エネルギーが存在する、つまり、電場が静電エネルギーを持つ、と表現できます。