前回の記事では、真空中の静電エネルギーを電場と電位により表現しました。ここでは、静電エネルギーを電場のみによる表現へと変えていきます。
出発点です。
\(U = \displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int (div \vec{E}(\vec{x})) V(\vec{x}) dxdydz\)
ここで、\(div \vec{E}(\vec{x})\)を本来の形に戻します。
\(div \vec{E} = \displaystyle \dfrac{\partial E_x}{\partial x} + \dfrac{\partial E_y}{\partial y} +\dfrac{\partial E_z}{\partial z}\)
これを最初の式に代入します。
\(U = \displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(\dfrac{\partial}{\partial x} E_x(\vec{x}) + \dfrac{\partial}{\partial y} E_y(\vec{x}) + \dfrac{\partial}{\partial z} E_z(\vec{x})\right) V(\vec{x}) dxdydz\)
x、y、zの各要素の分けます。
\(\displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(\dfrac{\partial}{\partial x} E_x(\vec{x}) V(\vec{x})\right) dxdydz\)
\(\displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(\dfrac{\partial}{\partial y} E_y(\vec{x}) V(\vec{x})\right) dxdydz\)
\(\displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(\dfrac{\partial}{\partial z} E_z(\vec{x}) V(\vec{x})\right) dxdydz\)
これらの式に、下記の部分積分の公式を適用します。
\(\displaystyle \int_a^b \dfrac{df(x)}{dx} g(x) = \left[ f(x)g(x) \right]_a^b – \int_a^b f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} dx\)
\(f(x)\)に\(E(\vec{x})\)を、\(g(x)\)に\(V(\vec{x})\)を代入すると、x、y、zの各要素は次にようになります。
\(\displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(\dfrac{\partial}{\partial x} E_x(\vec{x}) V(\vec{x}) \right)dxdydz\)
\(=\displaystyle \left[ \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_x(\vec{x}) V(\vec{x})dydz \right]_{x=-\infty}^{x=\infty} – \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_x(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial x}V(\vec{x}) dxdydz\)
\(\displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(\dfrac{\partial}{\partial y} E_y(\vec{x}) V(\vec{x}) \right)dxdydz\)
\(=\displaystyle \left[ \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_y(\vec{x}) V(\vec{x})dxdz \right]_{y=-\infty}^{y=\infty} – \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_y(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial y}V(\vec{x}) dxdydz\)
\(\displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(\dfrac{\partial}{\partial z} E_z(\vec{x}) V(\vec{x}) \right)dxdydz\)
\(=\displaystyle \left[ \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_z(\vec{x}) V(\vec{x})dxdy \right]_{z=-\infty}^{z=\infty} – \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_z(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial z}V(\vec{x}) dxdydz\)
部分積分の公式を適用したこれらの式の中で、カギカッコで挟まれた部分を表面項と呼びます。この部分は、ここでは無視できるものとみなします。その理由は次のとおりです。
この表面項は、電場の発散の体積分になっています。よって、ガウスの発散定理により、面積分に変えることができます。また、この積分範囲は全領域(\(-\infty〜+\infty\))なので、積分範囲の上端、下端ともに無限遠です。いまは、無限遠に電荷があるとは考えていないので、無限遠では電場はゼロとみなせます。よって、無限遠ではどの方向も電場はゼロであり、したがって、表面項の計算結果もゼロになるとみなせます。
ガウスの発散定理とは、次の式で表される定理です。
\(\displaystyle \int_V div \vec{A}dxdydz = \int_{\partial V} \vec{A} \cdot d\vec{S}\)
左辺は体積分で、考えている領域(体積)の内部から出てくるものを合計します。一方、右辺は面積分で、考えている領域の表面から外向きに出てくるものを合計します。領域の内部から出てくるものを合計すると、領域の表面から出てくるものの合計と一致する、という、物理的にはイメージしやすい式だと思います。今回は、この定理を、体積分から面積分に変換するのに利用します。
表面項を無視した結果、x、y、zの各要素は次のようになります。
\(\displaystyle – \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_x(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial x}V(\vec{x})dxdydz\)
\(\displaystyle – \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_y(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial y}V(\vec{x})dxdydz\)
\(\displaystyle – \dfrac{\epsilon_0}{2} \int E_z(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial z}V(\vec{x})dxdydz\)
これらを合計すると、
\(\displaystyle – \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(E_x(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial x}V(\vec{x})+E_y(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial y}V(\vec{x}) + E_z(\vec{x}) \dfrac{\partial}{\partial z}V(\vec{x})\right)dxdydz\)
ここで、\(-\dfrac{\partial}{\partial x}V(\vec{x})=E_x(\vec{x})\)、\(-\dfrac{\partial}{\partial y}V(\vec{x})=E_y(\vec{x})\)、\(-\dfrac{\partial}{\partial z}V(\vec{x})=E_z(\vec{x})\)であることから、これらを代入すると、
\(\displaystyle \dfrac{\epsilon_0}{2} \int \left(E_x(\vec{x})E_x(\vec{x})+E_y(\vec{x})E_y(\vec{x}) + E_z(\vec{x})E_z(\vec{x})\right)dxdydz\)
x、y、zの各要素をまとめると、静電場が存在する領域をVとして、
\(U= \displaystyle\dfrac{\epsilon_0}{2} \int_V \left|\vec{E}\right|^2 dV\)
電位と電場で表していた式が、電場のみの式になりました。これより、電荷が作る電場かどうかは関係なく、一般的に電場が存在していれば、静電エネルギーが存在する、つまり、電場が静電エネルギーを持つ、と表現できます。
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