コンデンサの理論で頻出する関係式が4つあります。そのうちのひとつが「電場は電圧(=電位差)の傾きに等しい」です。この関係を計算を通して説明します。
まず、面積\(S\)の平らな導体板を考えます。周囲は真空です。この導体板に\(+Q (C)\)の電荷を与えると、導体板に分布する電荷の面積密度は、
\(σ＝\dfrac{Q}{S}\)
となります。この面積密度で、導体板には電荷が一様に分布します。
この導体板のどこでもいいので、導体板上の面積\(\Delta S\)の円、つまり円板状の導体(以下、円板)について考えます。この円板に存在する電荷\(\Delta Q\)は、
\(\Delta Q = \sigma \Delta S\)
となります。
この円板からは、電気力線が両面に均等にかつ垂直に出ています。この円板を鉛直方向に移動させてできる円柱の側面から外側へ電気力線が出ることはないので、ガウスの法則より、
\(2\Delta SE = \dfrac{\sigma \Delta S}{\epsilon_0}\)
となります。なお、着目している導体が平板であり、すべての電気力線が平板と垂直に出ていることが明確なので、この式ではベクトルは用いていません。
この式の左辺は、いま着目している面の電場のうち、その面に垂直な成分を、面の面積分だけ積分したものを表します。なお、円板の電荷が作る電場が裏と表の両方向なので、円板の両面の面積と考慮して左辺は円板の面積を2倍しています。また右辺の分子は着目している面に存在する総電荷を表し、それを真空の誘電率で割っています。つまり、右辺はこの総電荷にから出る電気力線の本数を表しています。
これから、円板が作る電場は、表方向をプラス、裏方向をマイナスを付けて区別すると、
\(E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)
\(-E = -\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)
となり、これを並行平板コンデンサ(ふたつの平板を並行に向かい合わせて配置したもの)に当てはめて考えます。
上で考えた面積\(S\)の円板状導体2枚(円板1、円板2)を平行かつ向かい合わせて配置します。円板どうしの距離は\(d\)とします。次に、円板1には\(＋Q (C)\)の電荷を、円板2には\(-Q (C)\)の電荷を与えます。このとき、それぞれの円板に生じる電荷の面積密度は、
\(\sigma = \dfrac{Q}{S}\)
\(-\sigma = -\dfrac{Q}{S}\)
となります。これにより、円板1が作る電場の大きさ\(E_1\)は、円板2の方向をプラス、反対側をマイナスとして、
\(E_1 = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)
\(-E_1 = -\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)
同様に、円板2に生じる電場の大きさ\(E_2\)は、円板１の方向をマイナス、反対側をプラスとして、
\(E_2 = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)
\(-E_2 = -\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)
となります。円板1と2は並行かつ向かい合わせに配置されているので、両円板の外側の電場は、両円板が作る電場で打ち消し合って\(E=0\)となります。
極板間には電場が残り、その電場の大きさ\(E\)は、
\(E=E_1 + E_2 = 2 \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\)
\(\sigma = \dfrac{Q}{S}\)より
\(E= \dfrac{Q}{\epsilon_0 S}\)
となります。
ここで、\(+Q (C)\)と\(-Q (C)\)を与えたそれぞれの円板の電位を\(\phi_1 (V)\)、\(\phi_2 (V)\)とおき、\(\phi_2\)を基準電位(\(0V\))とおくと、円板間電位差Vは\(\phi_1-\phi_2=\phi_1\)となり、\(\phi_1\)がこの円板で構成された並行平板コンデンサの電圧を表します。
ここで、電場\(E\)の向きに\(x\)軸を取り、\(+Q (C)\)の電荷を与えた円板の位置を\(0\)とおくと、\(-Q (C)\)の電荷を与えた円板の位置は\(d\)となり、\(0\)から\(d\)までの範囲でのみ電場\(E\)は\(\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}=\dfrac{Q}{\epsilon_0 S}\)の一定値をとります。これから電位\(\phi_1\)(電位差\(V)\)を求めると、電場は\(x\)軸方向のみで考えればよいので、
\(\phi_1 = V = \int_{0}^{d} E dx = \left[E x\right]_{0}^{d} = Ed\)
まとめると\(V=Ed\)となり、左辺に電場を、右辺に電位差を移動させると、
\(E = \dfrac{V}{d}\)
となります。
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