理論上、コイルに正弦波交流を流すと、電流は電圧に対して1周期の1/4遅れます。これを実際に計算したあとで、この遅れをイメージしてみます。
遅れの計算
交流電源(電圧\(v(t)=v_{0}\sin \omega t\))に自己インダクタンス\(L\)のコイルが接続されただけのシンプルな回路を考えます。回路に流れる電流を\(i(t)\)で表すと、コイルに発生する電圧(自己誘導起電力と呼びます) \(v_{L}(t)\)は次の式で求めることができます。
\(v_{L}(t)=-L\dfrac{di(t)}{dt}\)
交流電源の電圧とコイルに発生する電圧の大きさは同じなので、
\(v(t) = v_{L}(t)\)
すなわち
\(v(t) = -L\dfrac{di(t)}{dt}\)
\(v(t)=v_{0}\sin \omega t\) を代入して式を変形すると、
\(\dfrac{di(t)}{dt} = \dfrac{v_{0}\sin \omega t}{L}\)
両辺を\(t\)で積分すると、
\(i(t) = \dfrac{v_{0}}{L} \int \sin \omega tdt\)
\(=- \dfrac{v_{0}}{\omega L} \cos \omega t\)
\(\cos \omega t = – \sin (\omega t – \dfrac{\pi}{2})\)より、
\(i(t) = \dfrac{v_{0}}{\omega L} \sin(\omega t – \dfrac{\pi}{2})\)
これで、電圧と電流をともに\(sin\)で表すことができました。
これは、電流は、ある時点での電圧の位相の\(\dfrac{\pi}{2}\)前の位相を持つことを示します。言い換えると、電流の位相は、電圧の位相を \(\dfrac{\pi}{2}\) 遅れて追いかけている(=遅れている) と見ることができます。
自己誘導起電力について
電流が磁場を作ることがもともと知られていました。そこで、逆の発想を持ち込んだ人が現れました。つまり、磁場が電流を作るのではないか、です。実際には、時間変化しない磁場があるだけでは電流は流れないが、磁場が時間変化すると電流が流れることが分かりました。これを法則の形にしたのが、電磁誘導の法則です。
\(V = -\dfrac{d\phi}{dt}\)
\(V\)はコイルに発生する電圧、\(\phi\)は磁束で、コイルの中の磁場を表します。\(t\)は時間です。
コイルの中の磁場が増加すると、増加している磁場とは逆向きの磁場が発生するという現象が起きます。逆向きの磁場が発生するということは、現在コイルの中を流れている電流と逆向きの電流が流れようとします。つまり、現在流れている電流の流れを阻害しようとすることから、逆起電力が働くこととイコールになります。自分(コイル)の中を流れる電流が、自分の中に逆起電力を発生させることから、この起電力を自己誘導起電力と呼びます。
遅れのイメージ
さて、電磁誘導の法則の式を見ると、右辺は磁場を時間微分しています。磁場は電流とコイルのインダクタンスの積(\(\phi =LI\))であることから、電流の時間微分でもあります。
\(V_{L}=-L \dfrac{dI}{dt}\)
正弦波の場合、左辺(電圧)が最大になるのは、右辺の\(\dfrac{di}{dt}\)が最小になるときです。つまり、電流が減少しつつあり、電流波形の傾きがマイナス側に最大になる瞬間(電流がゼロ)になる点です。電流が減少しきってマイナス側のピークに達した瞬間、電流の変化はゼロになるので電圧はゼロになります。さらに時間が経過して電流が増加し、電流波形の傾きがプラス側に最大になる瞬間(電流がゼロ)に、電圧はマイナス側のピークに達します。このような関係が続くように電圧と電流の波形を描くと、ちょうど電流が電圧に対して \(\dfrac{\pi}{2}\) だけ遅れているように見えます。
私は、コイルの電流の遅れについて初めて習ったとき、コイルに電圧をかけると電流は意思を持って遅れて流れ始めるのか、なんて考え込んでしまいました。遅れるのは電圧と電流の波形を一緒に描いた場合の比較であって、電圧と電流がこのような関係を保ったままコイルに印加されるだけなんですね。
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