ここでは、コンデンサのエネルギーはどこに、どのように蓄えられているのか、について考えます。ここで考えるコンデンサはふたつの平行平板からなっており、極板の間は真空とします。極板の間にはなにもないので、極板か、このなにもない空間にエネルギーが溜められていることになります。
当然、極板とその間のどこかにエネルギーがなければなりません。このエネルギーをどのように表すことができるのかについて、計算により示していきます。
平行平板コンデンサの静電エネルギーは、一般的に次の式で表されます。コンデンサが蓄えるエネルギーの公式です。
\(U=\dfrac{1}{2}CV^2\)
この式を構成する要素を変えていきます。
まず、この式に、\(C=\epsilon_0\dfrac{S}{d}\)と\(V=\dfrac{Q}{C}\) (\(Q=CV\)より)を代入すると、次の式が得られます。
\(U=\dfrac{dQ^2}{2\epsilon_0 S}\)
この式を極板に挟まれた部分の体積\(Sd\)(\(S\)は極板の面積、\(d\)はふたつの極板の距離)で割ると、コンデンサの持つ単位体積あたりの静電エネルギーが得られます。
\(U=\dfrac{Q^2}{2\epsilon_0 S^2} = \dfrac{1}{2} \epsilon_0 \left(\dfrac{Q}{\epsilon_0 S}\right)^2\)
ここで、電気力線の定義を確認します。定義には次のふたつが含まれています。
・真空中では、正電荷\(Q(C)\)から\(\dfrac{Q}{\epsilon_0}\)だけ電気力線が出る
・単位面積あたりの電気力線の本数が電場の強さに等しい
これより、電場\(\vec{E}\)の強さは\(\dfrac{Q}{\epsilon_0 S}\)であるから、先ほどの式に代入します。
\(U=\dfrac{1}{2} \epsilon_0 \left| \vec{E}\right|^2\)
これが、コンデンサが蓄える静電エネルギーを示す別の表現になります。非常にシンプルですね。
コンデンサを充電すると、極板に蓄えられる電荷が増えていくので、電荷がエネルギーを持つと考えることが多いと思います。しかし、この式から、電荷により極板間に形成された電場が静電エネルギーを持つと考えることもできます。
この式が重要なのは、ここで考えている静電エネルギーは電場によってのみ決まっているということです。極板や電荷に関する情報は一切関係なく、コンデンサに充電した結果として得られた電場によって、コンデンサが蓄える静電エネルギーが決まるわけです。
この式は、並行平板コンデンサだけではなく、真空中の静電場が持つエネルギー密度を表す式でもあります。真空といっても、目で見えないものがぎっしり詰まっていると考えることができます。
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